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Voronoi

Page history last edited by Sandi 10 years, 7 months ago

Aufgabe 1: Von wo bekomme ich meine Post?

 

Öffne das Applet http://www.geogebratube.org/student/m56412.

 

In Passau werden 5 Postämter eröffnet (gelbe Punkte auf der Karte). Jedes Haus wird vom nächstgelegenen Postamt beliefert. Für welches Zustellgebiet ist jedes einzelne Postamt zuständig?

 

a) Versuche mit Hilfe von GeoGebra die verschiedenen Zustellbereiche zu konstruieren.
Hinweis: Überlege wie man jene Punkte bestimmt, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben!

 

Voronoi – Diagramme

 

Die Voronoi-Region eines Ortes p – oft auch Zentrum genannt – ist die Menge aller Punkte der Ebene, die p näher liegen als jedem anderen Ort. Die Menge aller Voronoi-Regionen heißt Voronoi-Diagramm.

 

Beispiele:

Voronoi-Diagramm für 2 vorgegebene Punkte

 

  

 

Voronoi-Diagramm für mehrere vorgegebene Punkte:

 

          

 

 

b) Überprüfe deine Lösung des Postbeispiels mit Hilfe eines Voronoi-Diagramms. In GeoGebra gibt es dazu den Befehl Voronoi[Liste von Punkten].

 

Aufgabe 2: Aufstellung bei einem Fußballspiel

 

Öffne das Applet http://www.geogebratube.org/student/m52206.

a) Applet: Aufgabe a

Du siehst nun die Aufstellung einer Fußballmannschaft (orange: Torwart, lila bzw. rot: Feldspieler).

Finde heraus, in welchem Bereich des Fußballplatzes der rote Spieler zum Ball laufen sollte, weil er den kürzesten Weg zum Ball hat – konstruiere die Lösung.

 

b) Applet: Aufgabe b

Beim Fußball sind verschiedene Aufstellungen gebräuchlich (4-3-3, 4-4-2, 4-1-4-1, …).

Wie unterscheiden sie sich hinsichtlich der Raumaufteilung? Probiere mit Hilfe des Applets verschiedene Strategien aus. Du bist Trainer einer Fußballmannschaft – welche Strategie würdest du bevorzugen?

 

Ein Spieler bekommt aufgrund disziplinären Fehlverhaltens die rote Karte. Welche Raumaufteilung wählst du nun?



Weitere Anwendungen von Voronoi-Diagrammen

  • Filialschließungsprobleme: Welche Filialen machen sich gegenseitig die größte Konkurrenz?

  • Standortsuche: Wo wird ein neues Geschäft positioniert?

  • Versorgungsproblematik: Welchen Einzugsbereich haben medizinische Einrichtungen?

  • Auch in der Natur finden sich (näherungsweise) Voronoi-Diagramme, wie zum Beispiel bei den Libellenflügel. Es liegt die Vermutung nahe, dass es sich bei Voronoi-Diagrammen um besonders stabile Strukturen handelt.

(http://www.christophevaillant.de/alotta/user/christophevaillant.de/img/000/015/15078.pdf)



Weitere interessante Links

Video: http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

Informationen zum Video: http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/about_index.htm

Applet: http://www.cs.cornell.edu/Info/People/chew/Delaunay.html

http://www.christophevaillant.de/alotta/user/christophevaillant.de/img/000/015/15078.pdf

 

 

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